4 使用混合输出电容器网络进行环路稳定性分析

D-CAP3 转换器的环路在 MLCC 输出电容器网络中保持稳定，且带宽低于 1/3 开关频率，因此可确保环路稳定。对使用混合输出电容器网络时的环路稳定性进行了更详细的讨论。

方程式 9 展示了零点频率减去极点频率，C1<C2，R1<R2，结果小于 0。零点频率始终小于极点频率，这样可以简化后续分析和计算。由于 MLCC 的 ESR 和电容较低，因此零点 ω_{z_C1} 通常位于非常高的频率，不会影响环路稳定性。讨论的重点是零点 ω_{z_C2} 和极点 ω_{p_C2}，分为两种情况。

方程式 9.

ω_{z_C 2} - ω_{p_C 2} = \frac{1}{C_{2} r_{2}} - \frac{1}{(r_{1} + r_{2}) \frac{C_{1} C_{2}}{C_{1} + C_{2}}} = \frac{C_{1} r_{1} - C_{2} r_{2}}{(r_{1} + r_{2}) C_{1} C_{2} r_{2}} < 0

情况 1：当 C2 的 ESR 和电容不够大、C2 产生的零点 ω_{z_C2} 大于 ω_cross 且超出带宽时，如图 4-1 所示。ω_{z_C2} 和 ω_{p_C2} 对带宽影响不大，带宽小于 1/3×fsw。

图 4-1 ω_{z_C2} > ω_cross 时 D-CAP3 转换器的环路增益

环路稳定条件为 ω_{z_C2} > ω_cross，交叉频率可通过以下公式计算：

方程式 10.

\begin{array}{l} \frac{20 \lg (Acp \frac{Vref}{V_{0}}) - 20 \lg (G_{RI})}{\lg (ω_{0}) - \lg (ω_{RI})} = - 40dB/十倍频程 \\ \frac{20 \lg (G_{RI}) - 0}{\lg (ω_{RI}) - \lg (ω_{cross})} = - 20 d B/十倍频程 \end{array}

ω_cross 可通过以下公式得出：

方程式 11.

ω_{c r o s s} = \frac{A c p V r e f ω_{0}^{2}}{V_{0} ω_{R I}}

同时，引入的 C2 会使双极频率 ω₀ 变得较小，导致交叉频率也降低。如果 ω_cross ≤ ω_RI，环路增益会以 -40dB/十倍频程的斜率与 0dB 相交，导致环路在没有足够相位裕度的情况下变得不稳定。因此，环路稳定条件为 ω_{z_C2} > ω_cross 且 ω_cross > ω_RI，可通过以下公式得出：

方程式 12.

C_{2} r_{2} < \frac{V_{0} ω_{RI}}{AcpVref ω_{0}^{2}}

和

方程式 13.

C_{2} < \frac{{AcpVrefω}_{0}^{2}}{L V_{0} ω_{RI}} - C_{1}

情况 2：当 ESR 和电容足够大、ω_{z_C2} 被推入到带宽范围内（如图 4-2 所示）、ω_{z_C2} < ω_cross 时。由于增益曲线经过零点 ω_{z_C2}，增益曲线的斜率变为 0，只有当斜率遇到极点 ω_{p_C2} 时才会变为 -20dB/十倍频程。因此，当零点 ω_{z_C2} 进入带宽内时，极点 ω_{p_C2} 必须在带宽内，交叉频率出现在 ω_{p_C2} 之后。交叉频率内的零点和极点会增加带宽，当交叉频率超过 1/3×fsw 时，可能导致环路变得不稳定。为了提供环路稳定性，需要满足 ω_cross < 1/3×fsw 且 ω_{z_C2} < ω_cross 的条件。

图 4-2 ω_{z_C2} < ω_cross 时 D-CAP3™ 转换器的环路增益

交叉频率可通过以下公式计算：

方程式 14.

\begin{array}{l} \frac{20 l g (A) c p \frac{V r e f}{V_{0}}) - 20 l g (G_{R I})}{l g (ω_{0}) - l g (ω_{R I})} = - 40 d B / d e c a d e \\ \frac{20 \lg (G_{R I}) - 20 l g (G_{z_C 2_{}})}{l g (ω_{R I}) - l g (ω_{z_C 2_{}})} = - 20 d B / d e c a d e \\ \frac{20 l g (G_{p_C 2_{}}) - 0}{l g (ω_{p_C 2_{}}) - l g (ω_{c r o s s})} = - 20 d B / d e c a d e \\ \lg (G_{p_C 2_{}}) = \lg (G_{z_C 2_{}}) \end{array}

ω_cross 可通过以下公式得出：

方程式 15.

ω_{c r o s s} = \frac{A c p V r e f ω_{0}^{2} ω_{p_C 2}}{V_{0} ω_{R I} ω_{z_C 2}}

总结前面的两个条件，环路稳定条件可由下式给出：

方程式 16.

ω_{z_C 2} > \frac{A) c p V r e f ω_{0}^{2}}{V_{0} ω_{R I}}

或

方程式 17.

\frac{A) c p V r e f ω_{0}^{2} ω_{p_C 2}}{V_{0} ω_{R I} ω_{z_C 2}} < \frac{1}{3} f s W

如果 C2 的 ESR 和电容太大，并且 ω_{z_C2} 小于 ω_RI 或 ω₀，带宽比情况 2 增加得更多。这种情况在应用设计中很少出现，并且交叉频率的计算比较复杂。建议通过基准测试获得交叉频率，因为这种方法简单且准确。本节未对 ω_cross 计算进行更深入的讨论。计算结果是理想结果，与基准测试结果存在偏差。建议借助基准环路测试或仿真模型来验证混合输出电容器网络的环路稳定性。可以根据上述原理和分析方法选择合适的 C2。