ZHCADU9 February 2024

2 次级滤波器的元件选择

图 2-1 展示了具有第二级滤波器的降压转换器方案。电感器 L₂ 和电容器 C₂ 构成了一个二阶低通滤波器。该滤波器引入了一对新的共轭极点，这可以通过高频增益衰减来降低开关频率下的输出电压纹波和噪声。本节将分析电感器 L₂ 和电容器 C₂ 的选择方法。

图 2-1 具有第二级滤波器的降压转换器

在之前的几项研究中，我们已推导出第 1 级 LC 滤波器后的输出电压纹波表达式，如方程式 1 所示。另请参阅降压开关稳压器的输出纹波电压应用手册。

方程式 1.

V_{o1-ripple} = \frac{V_{o} (1- \frac{V_{o}}{V_{in}})}{f_{sw} L} (r_{c} + \frac{1}{8 f_{sw} C_{o}})

其中，V_o1-ripple 是第一级后输出电压纹波的峰峰值幅度。V_o 是降压转换器的输出电压，而 V_IN 是降压转换器的输入电压。f_sw 是开关频率。L 和 C_o 分别是第一级滤波器的电感和电容。r_c 是电容器 C_o 的 ESR。

第二级滤波器的传递函数如方程式 2 所示：

方程式 2.

G_{vv-2nd} (s)= \frac{R_{L}}{s^{2} R_{L} {L_{2} C}_{2} +s L_{2} + R_{L}}

其中，R_L 是输出负载电阻。由于 MLCC 通常用作电容器 C₂ 以减少第二级的输出纹波，因此 C₂ 的 ESR 会被忽略。

传递函数方程式 2 中包含一对共轭极点。极点频率可以近似表示为方程式 3。环路增益幅度图如图 2-2 所示。

方程式 3.

f_{2} ≈ \frac{1}{2π} \sqrt{\frac{1}{L_{2} C_{2}}}

图 2-2 公式 (2) 的环路增益幅度图

为了简化该关系式，我们忽略了共轭极点品质因数的影响，增益被视为频率 f₂ 后斜率为 -40dB/dec 的衰减。然后，可以推导出如方程式 4 所示的关系式。

方程式 4.

\frac{0dB-20lg (A_{sw})}{lg (f_{2}) -lg (f_{sw})} =-40dB/dec

其中，A_sw 是开关频率 f_sw 处的增益幅度。

A_sw 的表达式可以通过方程式 5 推导得出。

方程式 5.

A_{sw} = \frac{{f_{2}}^{2}}{{f_{sw}}^{2}} = \frac{1}{{4 π^{2} f}_{sw}^{2} L_{2} C_{2}}

将衰减增益 A_sw 应用于 V_o-1ripple 后，第二级纹波 V V_o2-ripple 表示为方程式 6。

方程式 6.

V_{o2-ripple} = A_{sw} V_{o1-ripple} = \frac{V_{o} (1- \frac{V_{o}}{V_{in}}) (r_{c} + \frac{1}{8 f_{sw} C_{o}})}{{4 π^{2} f}_{sw}^{3} L L_{2} C_{2}}

为了满足 V_o2-ripple≤V_{o2-ripple-target} 的要求，可以通过方程式 7 获得 L₂ 和 C₂ 的选择限制。

方程式 7.

L_{2} C_{2} ≥ \frac{V_{o} (1- \frac{V_{o}}{V_{in}}) (r_{c} + \frac{1}{8 f_{sw} C_{o}})}{{4 π^{2} f}_{sw}^{3} L V_{o2-ripple-target}}

如图所示，方程式 7 中仅给出了 (L₂ x C₂) 的限制，而分别没有给出 L₂ 和 C₂ 的限制。结合考虑 BOM 成本、DCR 损耗等，可以确定电感和电容。

在本应用手册系列的第 II 部分中，可以进一步分析添加无源滤波器对环路稳定性的影响，然后可以进一步推导具有稳定性限制的元件选择范围。通过结合考虑本文中的输出电压纹波限制和后续文章中的稳定性限制，可以获得完整的元件选择范围和应用设计方法。