5 零点和极点分析

下面对极点和零点进行了分析。在开环传递函数方程式 15 中，G_EA(s) 和 G_ci(s) 生成的极点和零点与没有第二级滤波器的通用 PCM 降压转换器中的极点和零点相同。

带有 II 型补偿的 G_EA(s) 由一个频率接近零的初始极点 f_P1-EA、一个中频零点 f_Z-EA 和一个高频极点 f_P2-EA 组成：

方程式 16.

f_{Z-EA} = \frac{1}{2π R_{COMP} C_{COMP}}

方程式 17.

f_{P2-EA} = \frac{1}{2π R_{COMP} C_{O_EA}}

一个极点由 G_ci(s) 生成，频率为：

方程式 18.

f_{P - ci} = \frac{V_{IN} R_{i} f_{sw}}{2π [V_{Se} f_{sw} L+ ({0.5V}_{IN} - V_{O}) R_{i}]}

对方程式 15 中的其余部分计算 Z_O(s) x G_FB-TOTAL(s)，可以得到：

方程式 19.

Z_{O} (s)× G_{FB-TOTAL} (s) = \frac{R_{2} (R_{L} + C_{ff} R_{1} R_{L} s+ C_{ff} L_{2} R_{1} s^{2} + C_{2} C_{ff} L_{2} R_{1} R_{L} s^{3})}{(R_{1} + R_{2} + C_{ff} R_{1} R_{2} s) [C_{2} C_{O} L_{2} R_{L} s^{3} + C_{O} L_{2} s^{2} + (C_{2} + C_{O}) R_{L} s+1]}

如前所述，先前的传递函数有四个极点和三个零点。在所有参数中，当负载电流变化时，输出负载电阻 R_L 会在运行过程中发生变化。图 5-1 展示了不同的 R_L 下的频率响应。

图 5-1 不同 R_L 下公式 (19) 的频率响应

如图 5-1 所示，不同 R_L 下的中频和高频响应几乎相同。然而，在低频范围内，较大 R_L 下的响应具有较小的相位。对于低带宽的电源解决方案设计，这可能会导致较小的相位裕度。因此，较大的 R_L 对应于较差的稳定性情况。

为了简化方程式 19，考虑输出电阻为无穷大（即 R_L->+∞）时的最坏情况：

方程式 20.

Z_{O} (s)× G_{FB-TOTAL} (s) |_{R_{L} →+ ∞} ≈ \frac{R_{2} (1+ C_{ff} R_{1} s+ C_{2} C_{ff} L_{2} R_{1} s^{3})}{s (R_{1} + R_{2} + C_{ff} R_{1} R_{2} s) [C_{2} C_{O} L_{2} s^{2} + (C_{2} + C_{O})]}

图 5-2 展示了上述传递函数的零点和极点映射。

图 5-2 公式 (20) 中零点和极点的位置

方程式 20 中的四个极点包括一个频率为 0Hz 的初始极点 P_out、一个频率为 f_Pff 的极点 P_ff 和一对频率为 f_P-2nd 的共轭极点 P_2nd。f_Pff 和 f_P-2nd 的表达式如方程式 21 和方程式 22 所示：

方程式 21.

f_{Pff} = \frac{1}{2π C_{ff}} (\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}})

方程式 22.

f_{P-2nd} = \frac{1}{2π \sqrt{\frac{C_{2} C_{O}}{C_{2} + C_{O}} L_{2}}}

方程式 20 中的三个零点包括一个频率为 f_Zff 的零点 Z_ff 和一对频率为 f_Z-2nd 的共轭零点 Z_2nd。

f_Zff 的表达式很复杂，如方程式 23 所示。可以证明 f_Zff≤f_Pff。

方程式 23.

f_{Zff} =- \frac{1}{2π} \frac{5.67× 10^{15} {(\sqrt{3} \sqrt{{C_{2}}^{3} {C_{ff}}^{4} {L_{2}}^{3} {R_{1}}^{4} (4 {C_{ff}}^{2} {R_{1}}^{2} +27 C_{2} L_{2})} -9 {C_{2}}^{2} {C_{ff}}^{2} {L_{2}}^{2} {R_{1}}^{2})}^{\frac{2}{3}} -1.3× 10^{16} C_{2} {C_{ff}}^{2} L_{2} {R_{1}}^{2}}{1.49× 10^{16} C_{2} C_{ff} L_{2} R_{1} \sqrt[3]{\sqrt{3} \sqrt{{C_{2}}^{3} {C_{ff}}^{4} {L_{2}}^{3} {R_{1}}^{4} (4 {C_{ff}}^{2} {R_{1}}^{2} +27 C_{2} L_{2})} -9 {C_{2}}^{2} {C_{ff}}^{2} {L_{2}}^{2} {R_{1}}^{2}}}

如果将 L₂ 视为没有 DCR 的电感器设计，则共轭零点 Z_2nd 位于右半平面中。但对于 DCR 为几 mΩ 或更大的实际电感器或铁氧体磁珠来说，共轭零点通常会移到左半平面并具有正阻尼效应。

共轭零点频率 f_Z-2nd 的表达式非常复杂。作为指导应用设计的文章，由于下面的设计指南中未利用共轭零点 Z₂ 来用于补偿相位裕度等任何重要目标，因此此处未进行详细的数学分析。

通常，频率 f_Z-2nd 小于 f_P-2nd，并且它们非常接近。C_ff 越大，频率 f_Z-2nd 就越接近 f_P-2nd。图 5-3 展示了具有第二级滤波器和混合检测的 PCM 转换器的典型增益响应。红色标记的极点和零点是在添加第二级滤波器后新增的。

图 5-3 具有第二级滤波器和混合检测的 PCM 转换器环路响应