ZHCAE59 June 2024 AM623 , AM625

B 附录 – EM 可靠性估算的数学基础

一般认为，电迁移故障遵循对数正态统计可靠性分布，加速因子遵循布莱克定律。这些参数使得瞬时故障率随着时间的推移而增加，反映了浴缸曲线的最新阶段。最好先以基本形式描述布莱克定律，然后再讨论对数正态 CDF。EM 对数正态故障的基本 CDF 方程见方程式 4。

方程式 4.

t_{f a i l u r e} = A J^{- n} e^{- \frac{E_{a}}{k T}}

J 是通过导线或过孔的电流密度（实际的平均电流密度）。
n 是电流密度指数，取决于所使用的金属化工艺。通常，对于铜 (Cu)，n = 1；对于铝，n = 2。Sitara 米6体育平台手机版_好二三四中使用了铜和铝金属，但金属化的限制性成分通常是铜。
A 是一个拟合常数，在计算不同应力或使用条件下的故障时间比率时要除以它，这就是加速因子 (AF) 的定义。
k 是玻尔兹曼常数，8.617x10^-5 eV/°K。T 在本例中是以开尔文为单位的温度。

方程式 5.

F (t) = Φ [σ^{- 1} \ln ([\frac{1}{{s^{- n} t}_{50 - r e f}}] \sum_{i = 1}^{N} [\frac{t_{i}}{{(\frac{V_{i}}{V_{r e f}})}^{- n} {(\frac{f_{i}}{f_{r e f}})}^{- n} e^{- \frac{E_{a}}{n k} (\frac{1}{T_{r e f}} - \frac{1}{T_{i}})}}])]

ф 是标准正态 CDF。
t_50-ref 是设计参考条件下的中位故障时间。
σ 是故障时间自然对数的标准偏差，取决于技术节点，但通常为 0.2 至 0.5（随着磨损而保持恒定）。
s 是特定导线或过孔的平均电流密度与允许的最大电流密度限值之比。该最大限值相当于单个元件允许的可靠性上限。随着 s 的降低（即平均电流密度的降低），有效 t₅₀ 相对于基准条件的影响也随之增大。t₅₀ 越高，可靠性就越高。
V 和 f 分别指电压和频率。

从 i=1 ... N（Σ 后面）求和的项需要进一步解释。E_a 和 n 是之前所述的布莱克定律参数。分子项 t₁ 是指任务剖面中应用使用条件层的时间。例如，t₁ 可以表示在 95°C Tj 温度、某些工作应用电压和频率下的 20000POH（数据表规格内的工作性能点 (OPP)）。

另一种情况：

方程式 6.

t_{2}

在 95°C Tj 下可以为 50000POH，并且与（T_ref、V_ref、f_ref）相比，它可以是 TI 数据表中允许的相同 OPP，也可以是不同的 OPP。相对于基准条件下的等效时间，每个层级的时间必须按比例增大或减小。最后，必须将整个任务剖面（所有应用使用层）的这些调整的时间求和。

到目前为止，我们已介绍了单根导线或过孔（元件）的（电迁移）可靠性。那么，如何计算 SoC 的总可靠性呢？从数学角度看，这一点相对简单。

使用可靠性函数的特性：

方程式 7.

R = 1 - F

其中 F 是前面所述的 CDF。

如果总共有 N 个元件，则总可靠性函数就是每个单独元件可靠性函数的总乘积：

方程式 8.

R_{t o t} = \prod_{i = 1}^{N} R_{i}

最后，总 CDF 等于 1 减去总可靠性：

方程式 9.

F_{t o t} = 1 - R_{t o t}

标准正态 CDF 还有一个方便的数学特性，可以简单地将 F 转换为 R，反之亦然。该特性为：

方程式 10.

Φ (z) = 1 - Φ (- z)

如果

方程式 11.

F = Φ (z)

则

方程式 12.

R = Φ (- z)

在方程式 4 中，通过取自然对数参数的倒数，z 的符号可以由正变负。