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ZHCUBM2 December 2023

2.4.2.3 弱磁 (FW) 和每安培最大扭矩 (MTPA) 控制

永磁同步电机 (PMSM) 因其高功率密度、高效率和宽转速范围而广泛应用于家用电器应用。PMSM 包含两种主要类型：表面贴装式 PMSM (SPM) 和内嵌式 PMSM (IPM)。由于 SPM 电机在扭矩和 q 轴电流之间具有线性关系，因此更易于控制。不过，IPMSM 由于凸极比大而具有电磁扭矩和磁阻扭矩。总扭矩相对于转子角度是非线性的。因此，MTPA 技术可用于 IPM 电机，以优化恒定扭矩区域中的扭矩生成。弱磁控制的目的是优化以达到 PMSM 驱动器的最高功率和效率。弱磁控制可以使电机以其基本转速运行，扩大其运行限值以使转速高于额定转速，并允许在整个转速和电压范围内实现最佳控制。

IPMSM 数学模型的电压公式可以用 d-q 坐标来描述，如方程式 29 和方程式 30 所示。

方程式 29.

v_{d} = L_{d} \frac{{d i}_{d}}{d t} + {R_{s} i}_{d} - p ω_{m} L_{q} i_{q}

方程式 30.

v_{q} = L_{q} \frac{{d i}_{q}}{d t} + {R_{s} i}_{q} + p ω_{m} L_{d} i_{d} + p ω_{m} ψ_{m}

图 2-24 展示了 IPM 同步电机的动态等效电路。

图 2-24 IPM 同步电机的等效电路

IPMSM 产生的总电磁扭矩可以由方程式 31 表示，产生的扭矩包含两个不同的项。第一项对应于扭矩电流 $i_{q}$ 和永磁体 $ψ_{m}$ 之间产生的相互反作用力扭矩，而第二项对应于由于 d 轴和 q 轴上的电感不同而产生的磁阻扭矩。

方程式 31.

T_{e} = \frac{3}{2} p [{ψ_{m} i_{q} + (L_{d} - L}_{q}) i_{d} i_{q}]

在大多数应用中，IPMSM 驱动器具有转速和扭矩约束，这主要是由于分别存在逆变器或电机额定电流以及可用的直流链路电压限制。这些约束可以用数学公式方程式 32 和方程式 33 表示。

方程式 32.

I_{a} = \sqrt{i_{d}^{2} + i_{q}^{2}} \leq I_{m a x}

方程式 33.

V_{a} = \sqrt{v_{d}^{2} + v_{q}^{2}} \leq V_{m a x}

其中

$V_{m a x}$ 和 $I_{m a x}$ 是逆变器或电机允许的最大电压和电流

在两级三相电压源逆变器 (VSI) 供电的电机中，可实现的最大相电压受直流链路电压和 PWM 策略的限制。如果采用空间矢量调制 (SVPWM)，则最大电压限制为方程式 34 中所示的值。

方程式 34.

\sqrt{v_{d}^{2} + v_{q}^{2}} \leq v_{m a x} = \frac{v_{d c}}{\sqrt{3}}

通常，定子电阻 $R_{s}$ 在高速运行时可以忽略不计，并且电流的导数在稳态下为零，因此得到方程式 35，如下所示。

方程式 35.

\sqrt{L_{d}^{2} (i_{d} + \frac{ψ_{p m}}{L_{d}})^{2} + L_{q}^{2} i_{q}^{2}} \leq \frac{V_{m a x}}{ω_{m}}

方程式 32 的电流限制在 d-q 平面中产生一个半径为 $I_{m a x}$ 的圆，而方程式 34 的电压限制产生一个椭圆，其半径 $V_{m a x}$ 随着转速的增加而减小。必须对得到的 d-q 平面电流矢量进行控制，使其同时遵守电流和电压约束。根据这些约束，可以区分 IPMSM 的三个工作区域，如图 2-25 所示。

图 2-25 IPMSM 控制工作区域

恒定扭矩区域：可以在该工作区域内实施 MTPA，从而可产生最大扭矩。
恒定功率区域：必须采用弱磁控制，并且在达到电流约束时减小扭矩容量。
恒定电压区域：在这个工作区域，深度弱磁控制使定子电压保持恒定，以尽可能大地产生扭矩。

在恒定扭矩区域，根据方程式 31，IPMSM 的总扭矩包括来自磁链的电磁扭矩和来自以下电感之间凸极的磁阻扭矩： $L_{d}$ 和 $L_{q}$ 。电磁扭矩与 q 轴电流 $i_{q}$ 成正比，磁阻扭矩与 d 轴电流 $i_{d}$ 、q 轴电流 $i_{q}$ 以及 $L_{d}$ 和 $L_{q}$ 。

SPM 电机的传统矢量控制系统仅通过将命令的 $i_{d}$ 设置为零来实现非弱磁模式，从而利用电磁扭矩。但是，虽然 IPMSM 利用电机的磁阻扭矩，设计人员还必须控制 d 轴电流。MTPA 控制的目的是计算基准电流 $i_{d}$ 和 $i_{q}$ 以尽可能增大产生的电磁扭矩与磁阻扭矩之间的比率。以下各公式显示了 $i_{d}$ 和 $i_{q}$ 之间的关系以及定子电流 $I_{s}$ 的矢量和。

方程式 36.

I_{s} = \sqrt{i_{d}^{2} + i_{q}^{2}}

方程式 37.

I_{d} = I_{s} \cos β

方程式 38.

I_{q} = I_{s} \sin β

其中

$β$ 是同步 (d-q) 坐标系中的定子电流角度

方程式 31 可以表示为方程式 39，其中 $I_{s}$ 替换了 $i_{d}$ 和 $i_{q}$ 。

方程式 39 表明电机扭矩取决于定子电流矢量的角度：

方程式 39.

T_{e} = \frac{3}{2} p I_{s} \sin β [{ψ_{m} + (L_{d} - L}_{q} ） I_{s} \cos β]

该公式显示，当电机扭矩微分等于零时，可以计算出最大效率点。当该微分 $\frac{d T_{e}}{d β}$ 为零（如方程式 40 所示）时，可以找到 MTPA 点。

方程式 40.

\frac{d T_{e}}{d β} = \frac{3}{2} p [ψ_{m} I_{s} \cos β {+ (L_{d} - L}_{q} ） I_{s}^{2} \cos 2 β] = 0

根据这个公式，可以通过方程式 41 得出 MTPA 控制的电流角度。

方程式 41.

β_{m t p a} = \cos^{- 1} \frac{- ψ_{m} + \sqrt{ψ_{m}^{2} + {8 \times (L_{d} - L_{q})}^{2} \times I_{s}^{2}}}{4 \times (L_{d} - L_{q}) \times I_{s}}

因此，可以使用 MTPA 控制的电流角度通过方程式 42 和方程式 43 来表示有效的 d 轴和 q 轴基准电流。

方程式 42.

I_{d} = I_{s} \times \cos β_{m t p a}

方程式 43.

I_{q} = I_{s} \times \sin β_{m t p a}

不过，如方程式 41 所示，MTPA 控制的角度 $β_{m t p a}$ 与 d 轴和 q 轴电感有关。这意味着电感的变化会阻碍找到出色的 MTPA 点。为了提高电机驱动器的效率，在线估算 d 轴和 q 轴电感，但参数 $L_{d}$ 和 $L_{q}$ 不易于在线测量，并且受饱和效应的影响。稳健的查找表 (LUT) 方法可确保电气参数变化下的可控性。通常，为了简化数学模型，可以忽略 d 轴和 q 轴电感之间的耦合效应。因此，假设 $L_{d}$ 仅随 $i_{d}$ 而变化， $L_{q}$ 仅随 $i_{q}$ 而变化。因此，d 轴和 q 轴电感可以分别建模为 d-q 电流的函数，如方程式 44 和方程式 45 所示。

方程式 44.

L_{d} = f_{1} (i_{d}, i_{q}) = f_{1} (i_{d})

方程式 45.

L_{q} = f_{2} (i_{q} {, i}_{d}) = f_{2} (i_{q})

通过简化方程式 41 来减轻 ISR 计算负担，基于电机参数的常数 $K_{m t p a}$ 改为用方程式 47 表示，其中 $K_{m t p a}$ 在后台循环中使用更新的 $L_{d}$ 和 $L_{q}$ 进行计算。

方程式 46.

K_{m t p a} = \frac{ψ_{m}}{4 \times (L_{q} - L_{d})} = 0.25 \times \frac{ψ_{m}}{(L_{q} - L_{d})}

方程式 47.

β_{m t p a} = {c o s}^{- 1} (K_{m t p a} / I_{s} - \sqrt{{(K_{m t p a} / I_{s})}^{2} + 0.5})

第二个中间变量 $G_{m t p a}$ 由方程式 48 进行表示，用于进一步简化计算。使用 $G_{m t p a}$ ，MTPA 控制的角度 $β_{m t p a}$ 可以通过方程式 49 进行计算。这两个计算在 ISR 中执行，以获得真实的电流角度 $β_{m t p a}$ 。

方程式 48.

G_{m t p a} = K_{m t p a} / I_{s}

方程式 49.

β_{m t p a} = {c o s}^{- 1} (G_{m t p a} - \sqrt{G_{m t p a}^{2} + 0.5})

在所有情况下，都可以通过作用于直轴电流 $i_{d}$ 来减弱磁通量以扩大可达到的转速范围。作为进入该恒定功率工作区域的结果，选择弱磁控制而不是在恒定功率和电压区域中使用的 MTPA 控制。由于最大逆变器电压受到限制，PMSM 电机无法在反电动势（几乎与永磁场和电机转速成正比）高于逆变器最大输出电压的转速区域中运行。在 PM 电机中，无法直接控制磁通量。不过，通过添加负 $i_{d}$ 来减弱磁通量以扩大可达到的转速范围。考虑到电压和电流约束，电枢电流和端子电压会受到限制，如方程式 32 和方程式 33 所示。逆变器输入电压（直流链路电压）的变化限制了电机的最大输出。此外，最大基波电机电压还取决于所使用的 PWM 方法。在方程式 35 中，IPMSM 有两个因素：一个是永磁值，另一个是电感和磁通电流。

图 2-26 展示了用于实现弱磁的典型控制结构。 $β_{f W}$ 是弱磁 (FW) PI 控制器的输出，可生成基准 $i_{d}$ 和 $i_{q}$ 。在电压幅度达到限制之前，FW 的 PI 控制器的输入始终为正，因此输出始终在 0 处达到饱和。

图 2-26 弱磁和每安培最大扭矩控制的方框图

图 2-15 和图 2-17 展示了基于 FAST 或 eSMO 的 FOC 实现的方框图。这些方框图概述了 FOC 系统的功能和变量。电机驱动 FOC 系统中有两个控制模块：一个是 MTPA 控制，一个是弱磁控制。这两个模块根据输入参数分别生成电流角度 $β_{m t p a}$ 和 $β_{f W}$ ，如图 2-27 所示。

图 2-27 FW 和 MTPA 期间 IPMSM 的电流相量图

切换控制模块用于决定应用哪个角度，然后计算基准 $i_{d}$ 和 $i_{q}$ ，如方程式 37 和方程式 38 所示。可以根据以下公式来选择电流角度：方程式 50和方程式 51.

方程式 50.

β = β_{f W} i f β_{f W} > β_{m t p a}

方程式 51.

β = β_{m p t a} i f β_{f W} < β_{m t p a}

图 2-28 是显示在主循环和中断中运行采用 FW 和 MPTA 的 InstaSPIN™-FOC 所需步骤的流程图。

图 2-28 采用 FW 和 MTPA 的 InstaSPIN-FOC 工程的流程图