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10.4 频率响应

如果将稳态正弦波 $u (t) = u_{0} \sin (ω t + α)$ 应用于某个线性系统（表示为 $G (s ）$ ，则该线性系统会以相同的频率并以特定的相位和幅度进行响应，产生输出 $y (t) = y_{0} \sin (ω t + β)$ 。振幅的修改比例为 $\frac{y_{0}}{u_{0}}$ ，相移为 $\emptyset = β - α o r < G (j ω)$

波特图基础

幅度或增益的频率响应图表示电压增益随频率变化而变化的关系。波特图可以反映这种变化，该图展示频率与以 dB（分贝）表示的电压增益之间的关系。波特图通常绘制为半对数图，其中 x 轴（对数标度）表示频率，y 轴（线性标度）表示增益。频率响应的另一半是相移和频率间的关系，图中具体表现为频率和相移度数之间的关系。相位图通常绘制为半对数图，其中 x 轴（对数标度）表示频率，y 轴（线性标度）表示相移。

定义

电压增益（分贝）

Equation100.

V o l t a g e g a i n (d B) = 20 l o g (\frac{V_{O U T}}{V_{I N}})

功率增益（分贝）

Equation101.

P o W e r g a i n (d B) = 10 l o g (\frac{P_{O U T}}{P_{I N}})

用于输入或输出功率

Equation102.

P o W e r m e a s u r e d (d B m) = 10 l o g (\frac{P o W e r m e a s u r e d (W)}{1 m W})

表 10-3 常见增益值和等效 dB 示例。

A (V/V)	A (dB)
0.001	-60
0.01	-40
0.1	-20
1	0
10	20
100	40
1,000	60
10,000	80
100,000	100
1,000,000	120
10,000,000	140

其中

下降速率反映的是增益随频率而下降的关系

十倍频程表示频率扩大十倍或降至十分之一（从 10Hz 到 100Hz 是一个十倍频程）

倍频程表示频率加倍或减半（从 10Hz 到 20Hz 是一个倍频程）

波特图：极

图 10-1 极点增益和相位。

其中

极点位置 = $f_{p}$ （截止频率）

幅度 $(f < f_{p})$ = $G_{D C}$ （例如 100dB）

幅度 $(f = f_{p})$ = -3dB

幅度 $(f > f_{p})$ = -20dB/十倍频程

相位 $(f = f_{p})$ = ${- 45}^{°}$

相位 $(0.1 f_{p} < f < 10 f_{p})$ = ${- 45}^{°}$ /十倍频程

相位 $(f > 10 f_{p})$ = ${- 90}^{°}$

相位 $(f < 0.1 f_{p})$ = $0^{°}$

极点（方程）

作为复数

Equation103.

G_{V} = \frac{V_{O U T}}{V_{I N}} = \frac{G_{D C}}{j (\frac{f}{f_{p}}) + 1}

幅度

Equation104.

G_{V} = \frac{V_{O U T}}{V_{I N}} = \frac{G_{D C}}{\sqrt{{(\frac{f}{f_{p}})}^{2} + 1}}

移相

Equation105.

θ = - \tan^{- 1} (\frac{f}{f_{p}})

幅度 (dB)

Equation106.

G_{d B} = 20 L o g (G_{V})

其中

$G_{V}$ = 电压增益 (V/V)

$G_{D B}$ = 电压增益（分贝）

$G_{D C}$ = 直流或低频电压增益

f = 频率 (Hz)

$f_{p}$ = 极点发生的频率

$θ$ = 信号从输入到输出的相移

j = 表示虚数或 $\sqrt{- 1}$

波特图（零点）

图 10-2 零点增益和相位。

其中

零点位置 = $f_{z}$

幅度 $(f < f_{z})$ = 0dB

幅度 $(f = f_{z})$ = +3dB

幅度 $(f > f_{z})$ = +20dB/十倍频程

相位 $(f = f_{z})$ = ${+ 45}^{°}$

相位 $(0.1 f_{z} < f < 10 f_{z})$ = ${+ 45}^{°}$ /十倍频程

相位 $(f > 10 f_{z})$ = ${+ 90}^{°}$

相位 $(f < 0.1 f_{z})$ = $0^{°}$

零点（方程）

作为复数

Equation107.

G_{V} = \frac{V_{O U T}}{V_{I N}} = G_{D C} (j (\frac{f}{f_{p}}) + 1)

幅度

Equation108.

G_{V} = \frac{V_{O U T}}{V_{I N}} = G_{D C} \sqrt{{(\frac{f}{f_{z}})}^{2} + 1}

移相

Equation109.

θ = \tan^{- 1} (\frac{f}{z})