4 推导差分放大器的差分和共模增益

本节详细介绍差分放大器电路的差分和共模增益的逐步推导。这些增益公式用于确定差分放大器的 CMRR，它是电阻器网络绝对电阻的函数。以下各节将使用得到的关系来推导分立式电阻器容差 t 和匹配比率容差 t_m 的简化 CMRR 公式。

图 4-1 展示了典型的差分放大器电路。假设有一个理想运放，可以应用基尔霍夫电流定律 (KCL) 和基尔霍夫电压定律 (KVL) 来确定传递函数。理想运放假设反相输入电压 (V_N) 等于同相输入电压 (V_P)，并且流过输入端的电流为零。

图 4-1 采用理想运放的差分放大器电路

通过使用 KVL、KCL 和理想运放假设对图 4-1 进行分析，可得出以下公式。

方程式 10.

V_{N} = V_{P}

方程式 11.

V_{P} = (\frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}}) V_{S i g+}

方程式 12.

V_{O U T} = V_{N} - I_{N} R_{2}

方程式 13.

I_{N} = \frac{V_{S i g-} - V_{N}}{R_{1}}

合并前面的公式可得到方程式 14。

方程式 39.

V_{O U T} = (\frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}}) (1 + \frac{R_{2}}{R_{1}}) V_{S i g+} - (\frac{R_{2}}{R_{1}}) V_{S i g-}

对方程式 14 进行简单的代数重写可得到更直观的形式，即方程式 15。请注意，在该形式中，方程式 15 表示为电阻分压器的组合。

方程式 15.

V_{O U T} = \frac{(\frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}}) V_{S i g+} - (\frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}}) V_{S i g-}}{(\frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}})}

分析到此处，考虑输入信号的差分和共模电压分量是有用的。在图 4-2 中，差分放大器电路被重新绘制，以将输入电压显示为差分和共模电压源的组合。这表明 V_Sig+ 和 V_Sig- 均由输入差分电压的一半组成，极性相反，以输入共模电压为基准，如方程式 16 和方程式 17 所示。

方程式 16.

V_{S i g+} = V_{C M} + \frac{V_{D i f f}}{2}

方程式 17.

V_{S i g-} = V_{C M} - \frac{V_{D i f f}}{2}

图 4-2 具有差分和共模输入信号的差分放大器

考虑输入信号的差分和共模分量，重写方程式 15 可得出方程式 18。

方程式 18.

V_{O U T} = \frac{(\frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}}) (V_{C M} + \frac{V_{D i f f}}{2}) - (\frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}}) (V_{C M} - \frac{V_{D i f f}}{2})}{(\frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}})}

利用叠加，可以独立考虑差分和共模电压分量，如图 4-3 和图 4-4 所示。对方程式 18 应用叠加可得出方程式 19 定义的差模传递函数和方程式 20 定义的共模传递函数。

方程式 19.

A_{D} = \frac{V_{O U T}}{V_{D i f f}} = \frac{1}{2} \frac{(\frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}}) + (\frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}})}{(\frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}})}

方程式 20.

A_{C M} = \frac{V_{O U T}}{V_{C M}} = \frac{(\frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}}) - (\frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}})}{(\frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}})}

图 4-3 叠加：差分模式

图 4-4 叠加：共模

将差分和共模增益公式与方程式 3 中 CMRR 的定义相结合，可得出方程式 21。

方程式 21.

C M R R = \frac{1}{2} \frac{(\frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}}) + (\frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}})}{(\frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}}) - (\frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}})}

从这种形式可以清楚地看出，电阻器网络的 CMRR 由两个电阻分压器 R₂/R₁ 和 R₄/R₃ 之间的差异决定。CMRR 公式也可以用下面的形式表示，用于节 5和节 6的分析。

方程式 22.

C M R R = \frac{1}{2} \frac{2 R_{2} R_{4} + R_{1} R_{4} + R_{2} R_{3}}{R_{1} R_{4} - R_{2} R_{3}}